具阻尼与变指数源项的 Petrovsky 方程解的行为研究

本文研究如下具阻尼与非线性源的 Petrovsky 方程在初边值条件下的解：$$u_{tt}+\Delta^2 u-M(\|\nabla u\|_2^2)\Delta u-\Delta u_t+|u_t|^{m(x)-2}u_t=|u|^{p(x)-2}u$$，其中 $M(s)=a+ bs^\gamma$ 是参数为 $a>0,~b>0,~\gamma\geq 1$ 的正 $C^1$ 函数，$m(x),~p(x)$ 为给定的可测函数。利用微分不等式技巧，导出了低初值能量下爆破时间的上界。特别地，对于 $m(x)\equiv2$，在高初值能量下结合 Levine 凹性方法与若干微分不等式得到了爆破时间的上界。此外，充分利用强阻尼讨论了爆破时间的下界。进而，通过建立若干能量估计并利用一个关键积分不等式，给出了解的全局存在性与能量衰减估计。