狄利克雷多项式的 Hardy--Littlewood 型不等式

狄利克雷多项式 $F(s)=\sum_{n=1}^{N} a_n n^{-s}$ 的 $L^q$ 范数定义为 $$\| F\|_q:=(\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{0}^T |F(it)|^qdt)^{1/q}$$ 其中 $0<q<\infty$。证明了当 $0<q<2$ 时，$$(\sum_{n=1}^{N} |a_n|^2|\mu(n)|[d(n)]^{\frac{\log q}{\log 2} -1})^{1/2}\le \| F\|_q$$ 成立；此处 $\mu$ 为 M"{o}bius 函数，$d$ 为除数函数。该结果用于证明 $D_N(s):=\sum_{n=1}^{N} n^{-1/2-s}$ 的 $L^q$ 范数满足 $\|D_N\|_q\gg (\log N)^{q/4}$，其中 $0<q<\infty$。根据 Helson 对共轭算子 M. Riesz 定理的推广，证明了反向不等式 $\|D_N\|_q \ll (\log N)^{q/4}$ 在 $1<q<\infty$ 范围内有效。对于包括 Selberg L-函数类（基于 Selberg 的一个猜想）在内的相当大一类狄利克雷级数，也发现了类似的界。