Van Vleck 正弦泛函方程的一个推广

在\cite{St3}中，H. Stetk\ae r 得到了 Van Vleck 正弦泛函方程 $$f(x\tau(y)z_0)-f(xyz_0) =2f(x)f(y),\; x,y\in G,$$ 的解，其中 $G$ 是一个半群，$\tau$ 是 $G$ 的一个对合，$z_0$ 是 $G$ 中心的一个固定元素。本文的目的是确定如下 Van Vleck 正弦泛函方程推广的复值解 $$\mu(y)f(x\tau(y)z_0)-f(xyz_0) =2f(x)f(y), \;x,y\in G,$$ 其中 $\mu$ : $G\longrightarrow \mathbb{C}$ 是一个乘性函数，使得对所有 $x\in G$ 有 $\mu(x\tau(x))=1$。此外，我们得到了 Van Vleck 正弦泛函方程一个变体在幺半群上的解 $$\mu(y)f(\sigma(y)xz_0)-f(xyz_0) = 2f(x)f(y), \;x,y\in G,$$ 其中 $\sigma$ 是 $G$ 的一个对合自同构。