关于积分函数方程：积分型 d'Alembert 与 Wilson 函数方程

设 $G$ 为局部紧群，$K$ 为 $G$ 的紧子群。令 $\mu : G\longrightarrow\mathbb{C}\backslash\{0\}$ 为 $G$ 的特征标。本文处理积分方程 $$W_{\mu}(K):\; \;\int_{K}f(xkyk^{-1})dk+\mu(y)\int_{K}f(xky^{-1}k^{-1})dk=2f(x)g(y),$$ 和 $$D_{\mu}(K):\; \;\int_{K}f(xkyk^{-1})dk+\mu(y)\int_{K}f(xky^{-1}k^{-1})dk=2f(x)f(y)$$ 对所有 $x, y\in G$ 成立，其中 $f, g: G\longrightarrow \mathbb{C}$ 为待定的 $G$ 上复连续函数。当 $K\subset Z(G)$（$G$ 的中心）时，$D_{\mu}(K)$ 化为最近由 Davison [18] 和 Stetk{\ae}r [35] 研究的 d'Almbert 函数方程的新版本 $f(xy)+\mu(y)f(xy^{-1})=2f(x)f(y)$。我们以如下方式推导 $W_{\mu}(K)$ 与 $D_{\mu}(K)$ 解之间的联系：若 $(f,g)$ 是 $W_{\mu}(K)$ 的解且满足 $C_{K}f=\int_{K}f(kxk^{-1})d\omega_{K}(k)\neq 0$，则 $g$ 是 $D_{\mu}(K)$ 的解。此结果用于建立 $W_{\mu}(K)$ 的超稳定性问题。在 $(G,K)$ 为中心对的情况下，我们证明解由 $K$-球函数及相关函数表示。同时我们给出了 $D_{\mu}(K)$ 解用 $G$ 的不可约表示表示的显式公式。这些公式推广了 $G=\mathbb{R}$ 上的欧拉公式 $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$。