依平均意义下有理函数的逼近 II

对于 $1\le t < \infty$、紧子集 $K\subset\mathbb C$ 以及支撑在 $K$ 上的有限正测度 $\mu$，$R^t(K, \mu)$ 表示极点均在 $K$ 外的有理函数在 $L^t(\mu)$ 中的闭包。Conway 与 Yang（2019）引入了 $R^t(K, \mu)$ 的非可去边界 $\mathcal F$ 与可去集 $\mathcal R = K\setminus \mathcal F$ 的概念。我们延续先前的工作并得到 $R^t(K, \mu)$ 的结构性结果。假设 $S_\mu$（即 $R^t(K, \mu)$ 上由 $z$ 定义的乘法算子）是纯的（$R^t(K, \mu)$ 不具有 $L^t$ 直和项）。令 $H^\infty_{\mathcal R}(A_{\mathcal R})$ 为在 $L^\infty (A_{\mathcal R})$ 中那些在 $\mathcal F$ 的紧子集外有界解析的函数的弱$^*$闭包，其中 $A_{\mathcal R}$ 表示限制在 $\mathcal R$ 上的面积测度。若对任意两个不相交开集 $G_1$ 与 $G_2$，满足 $\mathcal R \subset G_1 \cup G_2 ~\gamma-a.a.$，则有 $\mathcal R \subset G_1 ~\gamma-a.a.$ 或 $\mathcal R \subset G_2 ~\gamma-a.a.$，则称 $\mathcal R$ 是 $\gamma$-连通的（$\gamma$ 表示解析容量）。我们证明：（1）$R^t(K, \mu)$ 不包含非平凡刻画函数当且仅当可去集 $\mathcal R$ 是 $\gamma$-连通的。（2）存在从 $R^t(K, \mu)\cap L^\infty(\mu )$ 到 $H^\infty_{\mathcal R}(A_{\mathcal R })$ 的等距同构与弱$^*$同胚。