半群上的五个三角加法法则

本文确定下列函数方程的复值解 $$g(x\sigma (y)) = g(x)g(y)+f(x)f(y),\quad x,y\in S,$$$$f(x\sigma (y)) = f(x)g(y)+f(y)g(x),\quad x,y\in S,$$$$f(x\sigma (y)) = f(x)g(y)+f(y)g(x)-g(x)g(y),\quad x,y\in S,$$$$f(x\sigma(y))=f(x)g(y)+f(y)g(x)+\alpha g(x\sigma(y)),\quad x,y\in S,$$$$f(x\sigma(y))=f(x)g(y)-f(y)g(x)+\alpha g(x\sigma(y)),\quad x,y\in S,$$ 其中 $S$ 为半群，$\alpha \in \mathbb{C}\backslash \lbrace 0\rbrace$ 为固定常数，$\sigma :S\rightarrow S$ 为对合自同构。