由平方生成半群上的余弦-正弦函数方程组

给定由自身平方生成的半群 $S$，我们确定如下余弦-正弦函数方程组的复值解 \begin{align*} f(xy)=f(x)g_{1}(y)+g_{1}(x)f(y)+\lambda_{1}^{2}\,h(x)h(y),\; x,y\in S,\\ h(xy)=h(x)g_{2}(y)+g_{2}(x)h(y)+\lambda_{2}^{2}\,f(x)f(y),\; x,y\in S, \end{align*} 其中 $\lambda_{1},\lambda_{2}\in\mathbb{C}$ 为给定常数，且 $f,g_{1},g_{2},h:S\to\mathbb{C}$ 为未知函数。