全离散格式格式的第三个 Strang 引理与 Aubin-Nitsche 技巧
数值分析
2018-11-15 v5
摘要
在本工作中，我们提出一个用于弱形式下线性偏微分方程（PDE）问题逼近的抽象误差分析框架。我们考虑全离散格式下的逼近方法，其中离散空间与连续空间未必嵌入于一个公共空间之中。我们设计了一个恰当的相容性概念，并在经典的 inf-sup 条件下证明其可界定逼近误差。该误差估计结果在精神上类似于 Strang 第一与第二引理，但适用于这些引理未能覆盖的情形（因全离散逼近空间之故）。利用 Aubin–Nitsche 技巧，我们还建立了在更弱范数下的改进估计。随后我们将这些抽象估计应用于一个各向异性非均匀扩散模型，以及针对该模型的两类经典格式族：虚单元（Virtual Element）与有限体积（Finite Volume）方法。对其中每种方法，我们表明抽象结果给出了具有精确且温和的局部各向异性比依赖关系的新误差估计。为虚单元方法导出此类估计的一个关键中间步骤是证明斜椭圆投影子在加权 Sobolev 半范数下的最优逼近性质。这一结果的意义超越此处所考虑的特定模型与方法。我们还给出了，据我们所知，有限体积方法的第一个清晰的相容性概念，由此得到涉及通量且对广泛有限体积格式成立的通用误差估计。一个重要应用是针对多点通量逼近 L 与 G 方法的第一个误差估计。在附录（未收入本工作发表版本）中，我们表明利用该抽象框架可用简化论证得到不连续 Galerkin 方法的经典估计。
引用
@article{arxiv.1804.09484,
title = {A third Strang lemma and an Aubin-Nitsche trick for schemes in fully discrete formulation},
author = {Daniele A. Di Pietro and Jérôme Droniou},
journal= {arXiv preprint arXiv:1804.09484},
year = {2018}
}