星系动力学中 Kurth 解的再考察

Kurth 解是引力 Vlasov-Poisson 系统的一个特定的非各向同性稳态解。它具有如下性质：通过适当的时间相关变换，可将其转化为一族时间相关解。因此，对于一个依赖于粒子能量 $e_Q$ 与 $\beta=\ell^2=|x\wedge v|^2$ 的一般稳态 $Q(x, v)=\tilde{Q}(e_Q, \beta)$，自然会提出如下问题：能否生成形如 $$f(t)=\tilde{Q}\Big(e_Q(R(t), P(t), B(t)), B(t)\Big)$$ 的解 $f$，其中 $R$、$P$ 和 $B$ 为合适的函数，且均依赖于 $(t, r, p_r, \beta)$，这里 $r=|x|$，$p_r=\frac{x\cdot v}{|x|}$。我们将证明，在某些温和假设下——基本上若 $R$ 和 $P$ 与 $\beta$ 无关，且 $B=\beta$ 为常数——则 $Q$ 必然已是 Kurth 解。本文谨献给 Robert Glassey 教授以志纪念。