黎曼流形上共圆向量场的一个显著性质

在本文中，我们证明：给定黎曼流形 $(M,g)$ 上带有势函数 $f$ 的非平凡共圆向量场 $\boldsymbol{u}$，在 $M$ 上存在唯一的光滑函数 $\rho$ 将 $\boldsymbol{u}$ 与势函数梯度 $\nabla f$ 联系起来，我们称之为共圆向量场 $\boldsymbol{u}$ 的连接函数。随后证明该连接函数是刻画 $n$ 维球面 $\mathbf{S}^{n}(c)$ 与欧氏空间 $\mathbf{E}^{n}$ 的主要要素。我们还证明该连接函数影响黎曼流形的拓扑。