伪欧几里得空间中 Lagrange 平移孤立子的刚性定理 II

设 $u$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的光滑凸函数，且 $\nabla u$ 的图像 $M_{\nabla u}$ 是伪欧几里得空间 $\mathbb{R}^{2n}_{n}$ 中具有平移向量 $\frac{1}{n}(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}; b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n})$ 的类空平移孤立子，则函数 $u$ 满足 $$\det D^{2}u=\exp \left\{ \sum_{i=1}^n- a_i\frac{\partial u}{\partial x_{i}} +\sum_{i=1}^n b_ix_i+c\right\} \qquad \hbox{on}\qquad\mathbb R^n$$ 其中 $a_i$、$b_i$ 和 $c$ 为常数。在论证过程中获得了 Bernstein 型结果。