具有指定有限对称性的通有梯度向量场的自同构

设 $M$ 为紧致连通光滑流形，赋予有限群 $\Gamma$ 的光滑作用，并设 $f$ 为 $M$ 上的 $\Gamma$-不变 Morse 函数。我们证明 $M$ 上 $\Gamma$-不变黎曼度量的空间包含一个残差子集 ${\mathcal Met}_f$，具有以下性质。令 $g\in{\mathcal Met}_f$，并令 $\nabla^gf$ 为 $f$ 关于 $g$ 的梯度向量场。对于任何保持 $\nabla^gf$ 的 $M$ 的微分同胚 $\phi$，存在实数 $t$ 和 $\gamma\in\Gamma$，使得对每个 $x\in M$ 有 $\phi(x)=\gamma\,\Phi_t^g(x)$，其中 $\Phi_t^g$ 是向量场 $\nabla^gf$ 的 time-$t$ 流。