Morse 引理的一个解析类比

在非退化临界点 $p$ 附近，Morse 函数 $f$ 在 Morse 引理的视角下被从拓扑上理解。然而，Morse 引理将函数 $f$ 本身标准化，几乎未提供梯度 $\nabla f$ 如何行为的讯息。在本文中，我们证明了一个 Morse 引理的解析类比，表明在临界点附近存在光滑局部坐标，使得一个一般的 Morse 梯度场 $\nabla f$ 展现出唯一的线性向量场。我们证明在临界点的一个小邻域上，梯度场 $\nabla f$ 有一个自然的标准形选择 $V_0(\mathbb{x})=\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i\frac{\partial}{\partial x_i}$，且该形式仅依赖于 Morse 函数与黎曼度量在临界点附近的局部行为。随后我们给出构造性证明：给定一般 Morse 函数 $f$，对每个临界点，存在一个局部坐标使梯度场化为其标准形。