关于Coron必要条件的Čech 上同调细化

Coron 通过同调学方法证明了针对非线性控制系统 $\dot{x}=f(x,u)$（其中 $f \in C(\Omega,\mathbb{R}^n)$ 且 $f(0,0)=0$）的连续反馈稳定性的局部分析存在同调障碍，指出若局部渐近稳定可实现，则诱导同态 $f_*$ 满足 $f_*\big(H_{n-1}(\Sigma_\epsilon)\big)=H_{n-1}(S^{n-1})$，其中 \Sigma_\epsilon:=\Big(\(\mathbb{B}_\epsilon^{\mathbb{R}^n}(0)\times\mathbb{B}_\epsilon^{\mathbb{R}^m}(0)\big)\cap \Omega\Big)\setminus f^{-1}(0)。本文采用Čech 上同调与 Vietoris-Begle 映射定理，对Coron的必要条件进行细化。具体而言，我们证明闭合版本的 $\Sigma_\epsilon$ 必须是一个Čech 同调 $(n-1)$ 球，并且 $f$ 对该子集的限制在所有度数上的Čech 同调群上实现同构。这一将Coron条件从对顶类上的约束提升为完整同调刚性陈述。