约束满足与结构同构中的上同调

约束满足（CSP）与结构同构（SI）是计算机科学中研究最为深入的计算问题之一。尽管两个问题均不被认为属于 $\texttt{PTIME}$，但针对两者的 $\texttt{PTIME}$ 近似已有大量工作。两种历史上重要的近似是 CSP 的 $k$-一致性算法与 SI 的 $k$-Weisfeiler-Leman 算法，二者均基于局部部分解的传递。这些算法的局限性众所周知：$k$-一致性恰好可解有界宽度的 CSP，而 $k$-Weisfeiler-Leman 只能区分在 $C^k$ 中可定义的属性不同的结构。本文中，我们引入一种新颖的层论方法来处理 CSP、SI 及其近似。我们表明这两个问题均可视为判定预层 $\mathcal{H}_k(A,B)$ 与 $\mathcal{I}_k(A,B)$ 的全局截面的存在性，且 $k$-一致性及 $k$-Weisfeiler-Leman 算法的成功对应于这些预层中某些可有效计算子预层的存在。此外，基于 Abramsky 等人在量子基础方面的工作，我们展示如何在 $\mathcal{H}_k(A,B)$ 与 $\mathcal{I}_k(A,B)$ 中使用 Čech 上同调来检测所需全局截面存在的阻碍，并推导出扩展 $k$-一致性及 $k$-Weisfeiler-Leman 的新高效上同调算法。我们证明上同调 $k$-一致性可解所有有限环上的方程组，且上同调 Weisfeiler-Leman 可在若干重要结构类上区分 Cai-Fürer-Immerman 性质的肯定与否定实例。