基于莫尔斯理论的 Deligne–Mumford 紧化中的稳定性现象

我们通过一族莫尔斯函数，即 $\text{sys}_T$ 函数，研究稳定曲线模空间的 Deligne–Mumford 紧化 $\overline{\mathcal M}_{g,n}$ 的有理同调。利用 $\text{sys}_T$ 的几何与莫尔斯性质，包括指标间隙的存在性和粘合映射下莫尔斯指标的可加性，我们重新证明了在低次数下 $\overline{\mathcal M}_{g,n}$ 的同调完全支撑在边界 $\partial \overline{\mathcal M}_{g,n}$ 上，为 Harer 关于虚上同调维数的经典结果提供了一个互补的几何视角。此外，我们建立了跨所有亏格和标记点数的有理同调的有限生成性与稳定性现象。我们证明，对每个次数 $k$，一个有限的同调元素集通过附加三次标记的 $\mathbb{P}^1$ 的拷贝生成所有 $k$ 次同调类。这一结果也恢复了先前已知的关于标记点数的稳定性，例如 Tosteson 定理。