G-流形配置空间的 Bredon 同调稳定性

McDuff 与 Segal 证明了开流形的无序配置空间满足同调稳定性：存在一个稳定化映射 $\sigma: C_n(M)\to C_{n+1}(M)$，在 $n\gg d$ 时对 $H_d(-;\mathbb{Z})$ 为同构。对于有限群 $G$ 与开 $G$-流形 $M$，在某些假设下我们定义了一族等变稳定化映射 $\sigma_{G/H}:C_n(M)\to C_{n+|G/H|}(M)$（其中 $H\leq G$）。一般而言，这些映射并不诱导 Bredon 同调（奇异同调的等变类比）的稳定性。相反，我们证明每个 $\sigma_{G/H}$ 在 $C_n(M)$ 不动点的普通同调上诱导同构，并且若群为 Dedekind 群（如阿贝尔群），我们得到如下 Bredon 同调稳定性结论：$H^G_d(\bigsqcup_{n\geq 0}C_n(M))$ 在 $\mathbb{Z}[\sigma_{G/H} : H\leq G]$ 上有限生成。当 $G=e$ 时这退化为经典结论。