可定义（上）同调、pro-环面刚性与（上）同调分类

我们表明，Steenrod 的经典同调理论可以 enriched 以描述集合论信息。我们证明由此得到的可定义同调理论为紧可度量化空间直至同伦提供了比 Steenrod 同调严格更精细的不变量。特别地，我们证明 pro-环面直至同胚完全由它们的可定义同调分类。这与如下事实形成对比：例如，存在不可数多个具有相同的 Steenrod 同调群的两两不同胚的螺线管。我们类似地发展了加强 \v{C}ech 上同调的可定义上同调理论，并表明它完全分类了 pro-环面的补空间直至同胚。我们还将可定义上同调理论应用于空间 $\left[ X,S^{2}\right]$（从螺线管补空间 $X$ 到 $2$-球面的连续函数同伦类）的研究，该空间由 Borsuk 和 Eilenberg 于 1936 年开创。Eilenberg 和 Steenrod 在 1940 年证明了空间 $\left[ X,S^{2}\right]$ 是不可数的。我们将加强这一结果，通过证明典范作用 $\mathrm{Homeo}$ 的每个轨道是可数的，从而此类作用具有不可数多个轨道。这可视为一个刚性结果，并将由 $X$ 的 \v{C}ech 上同调的可定义自同构的刚性结果推导而出。我们还将表明，若以 pro-环面替换螺线管，这些结果仍然成立。最后，我们应用本文发展的工具来界定数学中若干被广泛研究的分类问题的 Borel 复杂度，例如连续迹 $C^{*}$-代数的自同构直至酉等价，或局部紧第二可数空间上的 Hermitian 线丛直至同构的分类问题。