全亚临界 regime 下 Φ^4 方程的先验估计

我们利用 Hairer 的正则结构理论推导了全亚临界 regime 下 Φ^4 方程的先验估计。该方程形式上为 \begin{equation} \label{e}(\partial_t-\Delta)\phi = -\phi^3 + \infty \phi +\xi, \tag{$\star$} \end{equation} 其中项 $+\infty \phi$ 表示在重正规化过程中必须移除的无穷项。我们通过调整噪声项 $\xi$ 的正则性来模拟分数维 $d<4$，取 $\xi \in C^{-3+\delta}$。我们的主要结果表明，若 $\phi$ 在时空柱面 $P= (0,1) \times \{ |x| \leq 1 \}$ 上满足该方程，则在远离边界 $\partial P$ 处，解 $\phi$ 可由 $\xi$ 的有限个显式多项式表达式界定，且该估计对 $\phi$ 的所有可能边界数据选择一致成立。此估计的推导充分利用了非线性项 $-\phi^3$ 的超线性阻尼效应。我们分析的一个关键部分是在 \eqref{e} 的具体背景下对正则结构理论的适当重构，从而将该理论给出的小尺度控制与合适的大尺度论证相耦合。在此过程中我们作出了若干新的观察与简化。我们不使用模型 $(\Pi_x)_x$ 和平移算子族 $(\Gamma_{x,y})_{x,y}$，而是仅用一个单一对象 $(\mathbb{X}_{x, y})$ 来处理，它在平移时作用于自身，非常契合 Gubinelli 的分支粗糙路径理论精神。此外我们表明，在 \eqref{e} 的具体背景下，构成 Hairer 的“ modelled distribution（建模分布）”定义的连续性条件层级可简化为对“常数层系数”的单一连续性条件。