Thomas-Fermi 边值问题的一种新方法

给定 Thomas-Fermi 方程 sqrt(x)phi''=phi*(3/2)，本文首先通过定义 y(x)=sqrt(x phi(x)) 改变因变量。边界条件要求 y(x) 在原点处按 sqrt(x) 趋于零，而在无穷远处其衰减行为正比于自变量 x 的幂次 (1/2)(1-chi)，其中 chi 为一个正数。此类边界条件导出一个含 1 个参数的近似解族，其形式为 sqrt(x) 乘以 x 的整数幂与半奇次幂的有限线性组合之比。若令 chi 等于 3，以与 Sommerfeld 的渐近解精确一致，则对所有 x 值均可得到近似解的显式形式。它们在小 x 处与 Majorana 解精确吻合，并对所有 x 值始终非常接近数值解。值得注意的是，我们的近似解未使用任何级数，便实现了从小 x 到大 x 行为的平滑过渡。最后，研究了包含相对论、非广延和热效应的广义 Thomas-Fermi 方程，对该方程中物理参数为小量或有限值时，求得了小 x 与大 x 处的近似解。