$\mathbb{R}^N$ 中能量临界 Choquard 方程的扰动结果

我们研究奇异扰动的非线性能量临界 Choquard 方程 \begin{equation*} -{\Laplace u}\qty({x}) -{\alpha} \int_{\R^N}\frac{u^p\qty(y)}{\abs{x-y}^{\lambda}}\odif{y} u^{p-1}\qty({x}) -\eps k\qty(x)u^{\frac{N+2}{N-2}}\qty(x)=0, \qquad x\in\R^N, \end{equation*} 其中 $N\geq 3$，$0<\lambda<N$，$\lambda\leq 4$，$p=\frac{2N-\lambda}{N-2}$，$\alpha = \frac{ N\qty({N-2})\fct{\Gamma}{N-\frac{\lambda}{2}} }{ \pi^{\frac{N}{2}}\fct{\Gamma}{\frac{N-\lambda}{2}} }$，且 $k$ 为正函数。利用 Lyapunov-Schmidt 约化论证，对充分小的 $\eps>0$，我们构造形如 \begin{align*} u_{\eps}\qty(x)=U_{\mu_{\eps},\xi_{\eps}}\qty(x)\qty(1+\O\qty(\eps)), \end{align*} 的解，其中 $U_{\mu_{\eps},\xi_{\eps}}$ 是无扰动方程 \begin{equation*} -{\Laplace u}\qty({x}) -{\alpha} \int_{\R^N}\frac{u^p\qty(y)}{\abs{x-y}^{\lambda}}\odif{y}=0,\qquad x\in\R^N. \end{equation*} 的正解。