直线上 Dunkl 谐振子的微扰

设 $J_\sigma$ 为 ${\mathbb{R}}$ 上的 Dunkl 谐振子（$\sigma>-\frac{1}{2}$）。对于 $0<u<1$ 和 $\xi>0$，证明若 $\sigma>u-\frac{1}{2}$，则算子 $U=J_\sigma+\xi|x|^{-2u}$ 在具有适当定义域时，在 $L^2({\mathbb{R}},|x|^{2\sigma} dx)$ 中是本质自伴的，Schwartz 空间 ${\mathcal{S}}$ 是 $\overline U^{1/2}$ 的核心，且 $\overline U$ 具有离散谱，该谱可根据 $\overline{J_\sigma}$ 的谱进行估计。还通过在偶函数和奇函数上取不同参数 $\sigma$ 和 $\tau$，考虑了 $J_\sigma$ 的推广 $J_{\sigma,\tau}$。随后证明了上述结果对 $J_{\sigma,\tau}$ 的推广，其中微扰包含一个附加项，该项在奇函数上涉及因子 $x^{-1}$，或在偶函数上涉及因子 $x$。导出了这些结果在 ${\mathbb{R}}_+$ 上的版本。