基于速度-伪应力形式的带对称应力的Brinkman问题混合间断Galerkin方法

Brinkman方程可视为Stokes方程与Darcy方程的组合，前者模拟通道中的快速流动（由Stokes方程控制），后者模拟多孔介质中的慢速流动（由Darcy定律控制）。该模型的数值挑战在于设计一种在Stokes主导（高渗透率）和Darcy主导（低渗透率）方程下都稳定的数值格式。本文中，我们在$n$维（$n = 2, 3$）下使用混合间断Galerkin（MDG）方法求解Brinkman模型，该方法应对了这一挑战。该MDG方法基于伪应力-速度形式，并使用不连续分片多项式对$\underline{\bm{\mathcal{P}}}_{k+1}^{\mathbb{S}}$-$\bm{\mathcal{P}}_k$ $(k \geq 0)$，其中应力场是对称的。主要未知量为伪应力和速度，而压力可通过简单后处理轻松恢复。分析中的一个关键步骤是在连续和离散层面通过特定的依赖于参数的范数建立参数鲁棒的inf-sup稳定性。因此，此处给出的稳定性结果关于渗透率是均匀的。得益于参数鲁棒稳定性分析，我们获得了断裂$\underline{\bm{H}}(\bm{{\rm div}})$-范数下应力和$\bm{L}^2$-范数下速度的最优误差估计。此外，在特定条件下导出了伪应力的最优$\underline{\bm{L}}^2$误差估计。最后，提供了数值实验以支持理论结果，并展示MDG方法的鲁棒性、准确性和灵活性。