对数 Sobolev 不等式与 Lyapunov 条件之间的联系
概率论
2016-04-29 v4
摘要
我们通过半群工具为对数凹测度的对数 Sobolev 不等式（简称 LSI）提供了一种替代视角。类似的想法在 Bakry-Emery 曲率有下界的前提下，为黎曼流形上对称扩散在某些二次 Lyapunov 条件下的 LSI 给出了热流证明。值得一提的是，一般的 φ-Lyapunov 条件由 Cattiaux-Guillin-Wang-Wu [8] 引入以研究泛函不等式，而上述关于 LSI 的结果最初由 Cattiaux-Guillin-Wu [9] 在 φ(·)=d²(·, x₀) 的条件下，通过结合侦探 L² 传输-信息不等式 W₂I 与 Otto-Villani 的 HWI 不等式得以证明。接着，我们断言一个逆向蕴含关系，即 Lyapunov 条件可以从 LSI 推导出来，这意味着在上述设定中二者的等价性。
引用
@article{arxiv.1410.6080,
title = {A link between the log-Sobolev inequality and Lyapunov condition},
author = {Yuan Liu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1410.6080},
year = {2016}
}
备注
8 pages, modified according to the referee's review, more minor corrections in version 4