扩展 Khovanov 弧代数的 A$_\infty$ 形变与 Stroppel 猜想

扩展 Khovanov 弧代数 $\mathrm{K}_m^n$ 是自然出现于多种背景中的分次结合代数，从纽结与链环同调、低维拓扑与拓扑量子场论，到表示论与辛几何。C. Stroppel 在其 2010 年 ICM 报告中猜想，$\mathrm{K}_m^n$ 的双分次 Hochschild 上同调群在某一范围内消失，这意味着代数 $\mathrm K_m^n$ 不容许非平凡的 A$_\infty$ 形变，特别地，这些代数是内在形式的。尽管由 Seidel 与 Thomas 的工作已知 Stroppel 猜想对代数 $\mathrm K_m^1$ 与 $\mathrm K_1^n$ 成立，我们证明对所有 $m, n \geq 2$，$\mathrm K_m^n$ 确实容许具有非零高次乘积的非平凡 A$_\infty$ 形变。我们将 $\mathrm K_m^n$ 及其 Koszul 对偶具体描述为带关系的箭图之路代数，并利用 Koszul 代数的 A$_\infty$ 形变与其 Koszul 对偶的滤过结合形变之间的对应，给出 $\mathrm K_m^n$ 的 A$_\infty$ 形变的显式代数构造。基于 Mak 与 Smith 近期的工作，这些形变也可视为与曲面 Hilbert 概形相关的 Fukaya--Seidel 范畴的 A$_\infty$ 形变。