$A(\infty)$-代数的结构及 Hochschild 与 Harrison 上同调

Stasheff 的 $A(\infty)$-代数 $(M,\{m_i:\otimes^iM\to M, i=1,2,3,...\})$ 实际上是一个 DG-代数 $(M,m_1,m_2)$，其乘积 $m_2$ 不一定结合，但这种非结合性由高阶同伦 $m_{i>2}$ 度量。然而这样的结构也出现在严格结合的情形中，即在一个具有自由 $H_i(C)$ 的 DG-代数 $C$ 的同调代数 $H(C)$ 中，特别是在拓扑空间 $X$ 的上同调代数 $H^*(X,\Lambda)$ 中。显然 $A(\infty)$-代数 $(H^*(X,\Lambda),\{m_i\})$ 比上同调代数 $H^*(B,\Lambda)$ 携带更多信息。自然产生一个问题：这种结构何时是退化的，即一个 $A(\infty)$-代数 $(M, \{m_i\})$ 何时同构于一个高阶运算 $m_i, i\geq 3$ 平凡的代数？本文引入此类退化的阻碍。即，我们将运算 $\{m_i\}$ 解释为 Hochschild 扭曲上链 $m=m_3+m_4+..., m_i\in C^n(M,M)$ 满足 $\delta m=m\smile_1m$，其中 $\smile_1$ 是 $C^*(M,M)$ 中 Gerstenhaber 的乘积。利用广义乘积 $f\smile_1(g_1,...,g_k)$ 我们定义 Hochschild 扭曲上链（即 $A(\infty)$ 结构）的摄动，并特别证明：若对分次代数 $(M,\mu)$ 所有 Hochschild 上同调 $Hoch^{n,2-n}(M,M)=0$ 对 $n\geq3$ 成立，则 $M$ 上任意满足 $m_1=0, m_2=\mu$ 的 $A(\infty)$-代数结构 $\{m_i\}$ 是退化的。