一种用于二维和三维空间下 Stokes 方程流函数格式的类 Hellan-Herrmann-Johnson 方法

我们针对二维和三维空间中不可压缩 Stokes 方程的流函数格式引入了一种新的离散化方法。该方法与 Hellan-Herrmann-Johnson 方法密切相关，并基于最近发现的保质量混合应力格式 [J. Gopalakrishnan, P.L. Lederer, J. Schöberl, IMA Journal of numerical Analysis, 2019]，该格式在 $H(\operatorname{div})$-协调空间中逼近速度，并引入一个新的类应力变量以在函数空间 $H(\operatorname{curl}\operatorname{div})$ 内逼近速度的梯度。 (离散) de Rham 复的性质允许将该方法推广到二维和三维空间中的流函数格式。我们给出了连续与离散情形下的详细稳定性分析，其中流函数 $\psi$ 及其逼近 $\psi_h$ 分别为 $H(\operatorname{curl})$ 的元素与 $H(\operatorname{curl})$-协调的 Nédélec 有限元空间的元素。我们以误差分析作结，揭示了以离散 $H^1$-范数度量的离散速度 $u_h = \operatorname{curl}(\psi_h)$ 误差的最优收敛阶。我们给出了数值算例以验证我们的结论，并讨论了如压力鲁棒性之类的结构保持性质。