任意特征下Bring曲线的推广

设 $p\ge 7$ 为素数，$m\ge 5$ 为整数。在零特征或正特征 $p$ 的任意域 $\mathbb{K}$ 上，Bring曲线一个自然的推广是 $\textrm{PG}(m-1,\mathbb{K})$ 的代数簇 $V$，其为齐次方程 $x_1^k+\cdots +x_m^{k}=0$（其中 $1\leq k\leq m-2$）的射影代数超曲面的完全交。在正特征下，我们还假设 $m\le p-1$。在 $\textrm{PG}(m-1,\mathbb{K})$ 中坐标变换下，我们证明 $V$ 是 $\textrm{PG}(m-2,\mathbb{K})$ 中次数为 $(m-2)!$、亏格 $\mathfrak{g}= \frac{1}{4} ((m-2)(m-3)-4)(m-2)!+1$、且同构于 $\textrm{Sym}_m$ 的驯服自同构群 $G$ 的射影、绝对不可约、非奇异曲线。我们计算了 $V$ 关于 $G$ 作用下一个或多个坐标稳定子的商曲线的亏格。在正特征下，两个极端情形 $m=5$ 与 $m=p-1$ 被进一步研究。对 $m=5$，我们证明存在无穷多个素数 $p$ 使得 $V$ 是亏格 $4$ 的 $\mathbb{F}_{p^2}$-极大曲线。最小的此类素数为 $29,59,149,239,839$。对 $m=p-1$，我们证明 $V$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上多达 $(p-2)!$ 个点，且在 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上无更多点。我们还指出了与R\'edei关于由Haj\'os（1941）证明的著名Minkowski猜想的先前工作，以及与Rodr\'iguez Villegas、Voloch和Zagier（2001）关于达到St"ohr-Voloch界的平面曲线的较新结果，以及Conca、Krattenthaler和Watanabe（2009）引入的对角方程组系统的正则序列问题的联系。