Puiseux 定理的推广及不变量上的曲线提升

设 $\rho: G \to \operatorname{GL}(V)$ 为定义在 $\mathbb C$ 上的约化线性代数群 $G$ 在有限维复向量空间 $V$ 上的有理表示。我们证明，对于范畴商 $V // G$（视为某个 $\mathbb C^n$ 中的仿射簇）中的任意一般光滑（相应地，$C^M$）曲线 $c : \mathbb R \to V // G$ 以及任意 $t_0 \in \mathbb R$，存在正整数 $N$ 使得 $t \mapsto c(t_0 \pm (t-t_0)^N)$ 在 $t_0$ 附近允许到表示空间的光滑（相应地，$C^M$）提升。（$C^M$ 表示与 $M=(M_k)$ 相关联的 Denjoy--Carleman 类，始终假设其是对数凸且对导数封闭的）。作为应用，我们证明了 $V // G$ 中的任意一般光滑曲线局部允许绝对连续（不会更好！）的提升。假设 $G$ 是有限的。我们刻画了允许可微提升的曲线。我们证明了表示 $V // G$ 中拟解析 $C^M$ 曲线芽的提升的 $C^\infty$ 曲线芽实际上是 $C^M$ 的。该结果在极表示中有相关应用。