有限域上曲线的最大亏格
代数几何
2025-06-18 v2 数论
摘要
域 k 上光滑几何连通曲线的亏格是其到射影直线的非常数 k-态射的最小次数。一般地，亏格 g ≥ 2 的曲线的亏格至多为 2g - 2。在有限域上，F.K. Schmidt 于 1930 年代的结果可用于证明亏格至多为 g+1。通过几何与计算的结合，我们改进了该界：对于有限域上亏格 g ≥ 5 的曲线，其亏格至多为 g。对于亏格 g = 3 和 g = 4，除恰好 217 个例外外同样成立：存在两条亏格为 4 且亏格为 5 的曲线，以及 215 条亏格为 3 且亏格为 4 的曲线。亏格-4 的例子已在其他论文中发现，我们在此重现其方程；在补充材料中，我们提供了亏格-3 例子的方程。
引用
@article{arxiv.2207.14307,
title = {On the Maximum Gonality of a Curve over a Finite Field},
author = {Xander Faber and Jon Grantham and Everett W. Howe},
journal= {arXiv preprint arXiv:2207.14307},
year = {2025}
}
备注
23 pages; supporting code and scripts can be found at https://github.com/RationalPoint/excessive; small typos fixed since previous version