由具有长程相互作用的随机谐振子链导出的一族分数阶扩散方程

我们考虑具有随机扰动和长程相互作用的一维无限谐振子链，其相互作用具有多项式衰减率 $|x|^{-\theta}, x \to \infty, \theta > 1$，其中 $x \in \mathbb{Z}$ 为相互作用范围。我们证明，若 $2< \theta \le 3$，则宏观热能分布的时间演化是超扩散的，并由指数为 $\frac{3}{7-\theta}$ 的分数阶扩散方程所支配；而若 $\theta > 3$，则指数为 $\frac{3}{4}$。阈值为 $\theta = 3$，因为当 $\theta \le 3$ 时色散关系的导数在 $k \to 0$ 处发散。