关于 Potts 模型在 Cayley 树上的 Lee-Yang 零点：一种动力学方法

设 $Z_n(z,t)$ 为深度为~$n$ 的根二叉树 Cayley 树上的 $q$ 状态 Potts 模型的配分函数。此处，$z = {\rm e}^{-h/T}$ 和 $t = {\rm e}^{-J/T}$，其中 $h$ 表示外部磁场，$T$ 表示温度，$J$ 表示耦合常数。可以将 $z$ 解释为类似于``磁场''的变量，将 $t$ 解释为类似于``温度''的变量。物理值 $h \in \mathbb{R}$、$T > 0$ 和 $J \in \mathbb{R}$ 对应于 $t \in (0,\infty)$ 和 $z \in (0,\infty)$。对于任意固定的 $t_0 \in (0,\infty)$ 和固定的 $n \in \mathbb{N}$，我们考虑 $Z_n(z,t_0)$ 的复零点以及它们如何随 $n \rightarrow \infty$ 在物理值 $z$ 的射线 $(0,\infty)$ 上的聚集。在铁磁性情况下（$J > 0$ 或等价于 $t \in (0,1)$），这些 Lee-Yang 零点最多聚集到 $(0,\infty)$ 的一点上，我们使用显式公式描述。在反铁磁性情况下（$J < 0$ 或等价于 $t \in (1,\infty)$），这些 Lee-Yang 零点聚集到 $(0,\infty)$ 的有限多个点上，我们同样使用显式公式描述。相同结果也适用于分支数为二的非根 Cayley 树。我们通过改编M"uller-Hartmann 和 Zittartz（1974 和 1977 年）、Barata 和 Marchetti（1997 年）、Barata 和 Goldbaum（2001 年）之前用于 Ising 模型在 Cayley 树上的细化程序来证明这些结果。随后我们使用来自复动力学的方法，特别是对标记点的迭代的主动/被动二分法，以及对细化映射的详细分析来证明主要结果。