关于VMO中调和测度双相问题的一个反例

设$\Omega^+\subset\mathbb R^{n+1}$是一个消失的Reifenberg平坦域，使得$\Omega^+$和$\Omega^-=\mathbb R^{n+1}\setminus\overline {\Omega^+}$具有弦弧子域的联合大块，且$\Omega^+$的外单位法向量属于$VMO(\omega^+)$，其中$\omega^\pm$是$\Omega^\pm$的调和测度。到目前为止，这些条件是否蕴含$\log\dfrac{d\omega^-}{d\omega^+} \in VMO(\omega^+)$一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们通过在$\mathbb R^2$中构造一个适当的反例来否定地回答这个问题，该反例还具有附加性质：$\Omega^+$的外单位法向量在$\partial\Omega^+$上$\omega^+$-几乎处处为常数。