两相自由边界问题的奇异积分方法

我们给出了Kenig和Toro结果的一个替代证明，该结果表明：如果$\Omega \subset \mathbb{R}^{n+1}$是一个双侧NTA域，具有Ahlfors-David正则边界，并且与$\Omega$相关的泊松核的$\log$以及与${\Omega_{\rm ext}}$相关的泊松核的$\log$均属于VMO，则外单位法向量$\nu$属于VMO。我们的证明利用了单层势的梯度的非切向极限的通常跳跃关系公式。我们还能够在泊松核的极点为有限的情况下放宽Kenig和Toro的假设：在此情况下，我们仅假设$\partial\Omega$是一致可求长的，并且$\partial\Omega$在Hausdorff $H^n$测度下几乎处处与$\Omega$的测度论边界重合。