Siegel-Jacobi 域的一种便捷坐标化

我们确定了齐次 Kähler 微分同胚 $FC$，它将 Siegel-Jacobi 球 $\mc{D}^J_n=\C^n\times \mc{D}_n$ 上的 Kähler 二形式表示为 $\C^n$ 上的 Kähler 二形式与 Siegel 球 $\mc{D}_n$ 上的 Kähler 二形式之和。由 Jacobi 群 $G^J_n=H_n\rtimes\text{Sp}(n,\R)_{\C}$ 生成元中的 Hermite 线性哈密顿量所确定的 $\mc{D}^J_n$ 上的经典运动和量子演化，由 $\mc{D}_n$ 上的矩阵 Riccati 方程和 $z\in\C^n$ 中的线性一阶微分方程描述，其系数也依赖于 $W\in\mc{D}_n$。$H_n$ 表示 $(2n+1)$ 维 Heisenberg 群。附属于矩阵 Riccati 方程的线性微分方程组是 $\mc{D}_n$ 上的线性哈密顿系统。当应用变换 $FC:(\eta,W)\rightarrow (z,W)$ 时，变量 $\eta=(\un-W\bar{W})^{-1}(z+W\bar{z})\in\C^n$ 中的一阶微分方程与 Siegel 球上的运动解耦。对于 Siegel-Jacobi 上半平面 $\mc{X}^J_n=\C^n\times\mc{X}_n$（其中 $\mc{X}_n$ 表示 Siegel 上半平面），也提出了类似的考虑。