扩展 Siegel-Jacobi 上半平面上的测地线

实 Heisenberg 群 ${\rm H}_1(\mathbb{R})$ 与 ${\rm SL}(2,\mathbb{R})$ 的半直积，称为实 Jacobi 群 $G^J_1(\mathbb{R})$，容许一个在 S 坐标下表示的四参数不变度量。我们确定了扩展 Siegel–Jacobi 上半平面 $\tilde{\mathcal{X}}^J_1 =\frac{G^J_1(\R)}{\rm{SO}(2)}\approx\mathcal{X}^J_1\times\mathbb{R}\approx \mathcal{X}_1 \times\mathbb{R}^3$ 上的测地线方程，其中 $\mathcal{X}^J_1$（$\mathcal{X}_1$）表示 Siegel-Jacobi 上半平面（相应地 Siegel 上半平面）。通过在 $\tilde{\mathcal{X}}^J_1$ 上的测地线方程中依次令三个参数的值为零，我们得到 $\mathcal{X}^J_1$、$\mathcal{X}_1$ 与 ${\rm H}_1(\mathbb{R})$ 上的测地线方程。