关于扩展Siegel–Jacobi上半平面几何的注记

实Jacobi群 $G^J_1(\mathbb{R})={\rm SL}(2,\mathbb{R})\ltimes {\rm H}_1$（其中 ${\rm H}_1$ 表示三维Heisenberg群）由 $S$ 坐标 $(x,y,\theta,p,q,\kappa)$ 参数化。我们证明，从基于Siegel–Jacobi圆盘 $\mathcal{D}^J_1$ 的Perelomov未归一化相干态矢量到归一化相干态矢量时所出现的参数 $\eta$ 为 $\eta=q+\rm{i} p$。Siegel–Jacobi上半平面 $\mathcal{X}^J_1=\frac{G^J_1(\R)}{\rm{SO}(2)\times\mathbb{R}}$ 上的双参数不变度量用变量 $(x,y,\rm{Re}~\eta,\rm{Im}~\eta)$ 表示。证明了五维流形 $\tilde{\mathcal{X}}^J_1=\frac{G^J_1(\R)}{\rm{SO}(2)}\approx\mathcal{X}^J_1\times\mathbb{R}$（称为扩展Siegel–Jacobi上半平面）关于对 $G^J_1(\mathbb{R})$ 作用不变的三参数度量是约化、非对称、非自然约化的流形，并确定了其测地向量。