$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中常平均曲率曲面的构造与 Krust 性质

我们证明了在 ${\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}}$ 中存在一个 $2$ 参数族的真 Alexandrov 嵌入的常平均曲率 $0\leq H\leq\frac{1}{2}$ 曲面。它们关于一个水平切片与 $k$ 个对称放置的竖直平面对称，并推广了所谓的极小鞍形塔与 $k$-noids。我们通过分析其在 $\widetilde{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{R})$ 或 $\mathrm{Nil}_3$ 中的共轭极小曲面，表明当 $H>0$ 时定向起着根本作用。我们还发现了称为 $(H,k)$-nodoids 的新完备例子，其 $k$ 个端部渐近于测地曲率为 $2H$ 的曲线的凸侧竖直圆柱，当 $H>0$ 时常常给出非嵌入例子。在所构造例子的嵌入性讨论中，我们证明了 Krust 性质对任意 $H>0$ 均不成立，即：在 $\widetilde{\mathrm{SL}}_2(\mathbb{R})$、$\mathrm{Nil}_3$ 或 Berger 球中凸域上的极小图，其在 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 中具有常平均曲率 $H$ 的共轭曲面不是图。