3-流形在 6-空间中光滑嵌入的分类

我们在光滑范畴下工作。如果存在扭结嵌入 S^n→R^m(这在 2m<3n+4 时经常发生),则除了球面的不交并之外,未知有对 n-流形到 R^m 的嵌入按同痕的具象完整描述。设 N 为闭连通可定向 3-流形。我们的主要结果如下对嵌入集 Emb^6(N)(即 N→R^6 的嵌入按同痕)的描述。Whitney 不变量 W : Emb^6(N) → H_1(N;Z) 是满射。对每个 u ∈ H_1(N;Z),Kreck 不变量 η_u : W^{-1}u → Z_{d(u)} 是双射,其中 d(u) 是 u 到 H_1(N;Z) 自由部分投影的可除性。群 Emb^6(S^3) 同构于 Z (Haefliger)。该群通过嵌入连通和作用于 Emb^6(N)。已证明此作用的轨道空间在 W 下双射地映射到 H_1(N;Z) (由 Vrabec 和 Haefliger 的光滑化理论)。我们分类结果的新部分是确定了该作用的轨道。例如对 N=RP^3 作用自由,而对 N=S^1×S^2 我们显式构造一个嵌入 f : N → R^6 使得对每个扭结 l:S^3→R^6 嵌入 f#l 同痕于 f。我们的证明使用了涉及 Kreck 修正手术理论或 Boechat-Haefliger 光滑化阻碍公式的新方法。