嵌入变号流形：膜世界与卡鲁扎-克莱因视角

我们研究了一类以光滑度规符号变化及横向根为特征的半黎曼流形。这类流形包括与宇宙学模型相关的时空，例如哈特尔-霍金“无边界”方案，其中黎曼流形平滑过渡到洛伦兹时空，没有边界或奇点。对于这类流形，我们证明了存在到高维伪欧几里得空间的全局等距嵌入。随后，我们通过证明一种特定类型的全局等距嵌入（我们称之为$\mathcal{H}$-全局嵌入）也存在于闵可夫斯基空间和米斯纳空间中，从而加强了这一结果。对于典型的$n$维变号模型，我们显式地构造了到$(n+1)$维闵可夫斯基空间和米斯纳空间的完整全局等距嵌入，对于这一特定情况，这是一个比$\mathcal{H}$-全局嵌入更强的结果。该嵌入框架为通过嵌入在体空间中的子流形几何来研究符号变化和膜世界提供了新的几何工具，从而为这些现象提供了一种数学上定义明确的方法。