关于洛伦兹流形在里奇平坦空间中的 $C^k$-嵌入

在本文中，我们研究洛伦兹流形在非解析嵌入到里奇平坦半黎曼空间中的问题。为此，我们首先回顾该领域一些相关结果，然后激发对此问题的数学和物理兴趣。我们证明任何 $n$ 维紧致洛伦兹流形 $(M^{n},g)$，其中 $g$ 属于 Sobolev 空间 $H_{s+3}$，$s>\frac{n}{2}$，允许等距嵌入到 $(2n+2)$ 维里奇平坦半黎曼流形中。此类嵌入在一般设置下最尖锐的可用结果来自 Greene 的著名嵌入定理 [R. Greene, Mem. Am. Math. Soc. 97, 1 (1970)] 的推论，该定理保证将紧致 $n$ 维半黎曼流形嵌入到 $n(n+5)$ 维半欧氏空间中，从而保证嵌入到相同维度的里奇平坦空间中。本文提出的定理通过从一开始就用里奇平坦条件替换黎曼平坦条件，在 $n^{2}+3n-2$ 的余维数上改进了这个推论。最后，我们将给出该定理的一个推论，表明 $n$ 维全局双曲时空中的紧致条带可以嵌入到 $(2n+2)$ 维里奇平坦半黎曼流形中。