非单连通 4-流形在 7-空间中的嵌入。I. 模纽结分类

我们在光滑范畴下工作。设 $N$ 为一个闭连通可定向 4-流形，其 $H_1$ 无挠，其中 $H_q:=H_q(N;Z)$。我们的主要结果是给出了嵌入 $N\to R^7$ 的一个完整的、易于计算的分类，该分类基于由合痕和与嵌入 $S^4\to R^7$ 的嵌入连通和生成的等价关系。此前，仅当 $H_1=0$ 时，由 Bo'echat、Haefliger 和 Hudson 在 1970 年的工作已知此类分类。我们的分类涉及 Bo'echat-Haefliger 不变量 $\varkappa(f)\in H_2$、Seifert 双线性形式 $\lambda(f):H_3\times H_3\to Z$ 以及 $\beta$-不变量 $\beta(f)$，后者取值于由 $\varkappa(f)$ 和 $\lambda(f)$ 的值定义的 $H_1$ 的一个商群中。特别地，对于 $N=S^1\times S^3$，我们给出了嵌入等价类集合与集合 $Z\oplus Z$ 的一个显式商集之间的一一对应。我们的证明基于对 Kreck 修正外科手术方法的改进，涉及一些更简单的重新表述，并使用了参数化连通和。