一维等熵欧拉流：自相似真空解

我们考虑初始数据在原点左侧为真空时，等熵欧拉系统的一维自相似解。对于$x>0$，初始速度和声速形式为$u_0(x)=u_+x^{1-\lambda}$和$c_0(x)=c_+x^{1-\lambda}$，其中常数$u_+\in\RR$，$c_+>0$，$\lambda\in\RR$。我们根据相似参数$\lambda$、绝热指数$\gamma$和初始（有符号）马赫数$\text{Ma}=u_+/c_+$分析所得解。将注意力限制在局部有界数据上，我们发现当声速初始以赫尔德方式衰减到零（$0<\lambda<1$）时，所得流总是全局定义的。此外，存在三种依赖于$\text{Ma}$的机制：对于足够大的正$\text{Ma}$值，解是连续的，初始赫尔德衰减立即被沿静止真空界面的$C^1$衰减到真空所取代；对于中等$\text{Ma}$值，解同样是连续的，并具有加速真空界面，沿该界面$c^2$线性衰减到零（即“物理奇点”）；对于足够大的负$\text{Ma}$值，解包含一个从初始真空界面发出并传播到流体中的激波，以及沿加速真空界面的物理奇点。相反，当声速初始以$C^1$方式衰减到零（$\lambda<0$）时，仅当$\text{Ma}$足够大时全局流才存在。对于较小的$\text{Ma}$值，全局解不存在是由于数据在无穷远处的快速增长，与真空的存在无关。