某类微分系统中极限环的零-Hopf分岔

本文研究了一类自治微分方程组的平衡点处可能分岔出的极限环个数。所讨论的系统假定为 $n$ 维,在原点具有零-Hopf平衡点,且仅由 $m$ 阶齐次项构成。记 $H_k(n,m)$ 为使用 $k$ 阶平均方法所能检测到的该系统极限环的最大个数。我们证明了对一般的 $n\geq3$、$m\geq2$ 和 $k>1$,有 $H_1(n,m)\leq(m-1)\cdot m^{n-2}$ 且 $H_k(n,m)\leq(km)^{n-1}$。通过计算如下由平均函数得到的多项式系统的混合体积,可确定 $H_k(n,m)$ 的精确值或对其个数的紧界。基于符号与代数计算,提出了一种通用的算法化方法,用以推导给定微分系统具有指定个数极限环的充分条件。通过一类三阶微分方程和一个四维超混沌微分系统说明了所提方法的有效性。