双曲空间上 Navier-Stokes 方程 $L^p$-温和解的适定性及全局时间行为

我们研究 $n$ 维双曲空间 $\mathbb{H}^n$（$n \geq 2$）上 Navier-Stokes 方程的温和解。我们利用 Pierfelice 在一类完备黎曼流形上证明的色散与光滑估计，将 Fujita-Kato 温和解理论从 $\mathbb{R}^n$ 推广到 $\mathbb{H}^n$。这包括对 $L^n$ 初值及 $1 < p < n$ 的 $L^n \cap L^p$ 初值的适定性结果、小初值的全局时间结果，以及 $u$ 与 $\nabla u$ 的 $L^n$ 与 $L^p$ 范数的时间衰减结果。由于 $\mathbb{H}^n$ 上额外的指数时间衰减，我们得以相比欧氏情形简化 $L^n$ 与 $L^p$ 范数衰减结果的证明。此外，我们能够证明 $\mathbb{H}^n$ 上的温和解属于比欧氏空间已知情形更广的时空 $L^rL^q$ 空间范围，并且全局解的 $L^n$ 范数在 $t$ 趋于无穷时衰减至零，这是 Kato 对 $\mathbb{R}^n$（$n\geq 3$）留下的开放问题。作为我们工作的必要部分，我们将欧氏空间中关于拉普拉斯算子生成半群强连续性与压缩性的已知事实推广到 $\mathbb{H}^n$。同时，我们利用谱论建立了 $\mathbb{H}^n$ 设定下某投影算子的必要有界性与交换性质。本工作与 Pierfelice 的工作一道，贡献于在 $\mathbb{H}^n$ 上提供完整的 Fujita-Kato 理论。