超图随机块模型的弱恢复阈值

我们研究了具有两个平衡社区的 $r$-一致超图随机块模型($r$-HSBM)上的弱恢复问题。在 HSBM 中,若超边的所有顶点共享相同的二元标签,则以更高密度放置超边来构造随机图;弱恢复要求恢复标签的非平凡比例。我们引入了强数据处理不等式(SDPI)的多端版本,称之为多端 SDPI,并用它证明了弱恢复的多种不可能结果。特别地,我们证明了当 $r=3,4$,或强度参数 $\lambda$ 至少为 $\frac 15$ 时,低于 Kesten-Stigum (KS) 阈值的弱恢复是不可能的。先前的工作 Pal 和 Zhu (2021) 确立了 HSBM 中的弱恢复在 KS 阈值以上总是可能的。因此,对于这些情形不存在信息-计算鸿沟,这(部分)解决了 Angelini 等人 (2015) 的一个猜想。据我们所知,这是 HSBM 弱恢复的第一个不可能结果。通常,我们将 HSBM 的非恢复研究归约为相关超树广播(BOHT)模型中的非重构研究。虽然我们证明了 BOHT 的重构阈值在 $r=3,4$ 时与 KS 一致,但令人惊讶的是,我们展示了对于 $r\ge 7$,重构在 KS 以下也是可能的。这显示了参数 $r$ 中一个有意义的相变,并表明对于 $r\ge 7$,HSBM 可能存在信息-计算鸿沟。对于 $r=5,6$ 和大度情形,我们提出了一种在 KS 以下展示非重构的方法,表明 $r=7$ 是新相起始的正确阈值。