在 $O(|E| \log^*|V|)$ 时间内超越Kesten-Stigum阈值恢复隐藏社区

在一个具有n个顶点的随机块模型图中考虑社区检测，其中植入社区有K个顶点，社区内顶点对连边概率为p，其他顶点对为q。本文主要关注基于图G在子线性 regime $n^{1-o(1)} \leq K \leq o(n)$ 下以平均 o(K) 个误分类顶点弱恢复社区。一个关键参数是有效信噪比 $\lambda=K^2(p-q)^2/((n-K)q)$，其中 $\lambda=1$ 对应Kesten-Stigum阈值。我们证明信念传播算法在 $\lambda>1/e$ 时实现弱恢复，超越了Kesten-Stigum阈值一个 $1/e$ 的因子。信念传播算法仅需运行 $\log^\ast n+O(1)$ 次迭代，总的时间复杂度为 $O(|E| \log^*n)$，其中 $\log^*n$ 是n的迭代对数。相反，若 $\lambda \leq 1/e$，任何局部算法都无法渐近地优于平凡的随机猜测。此外，一个对应于对图的非回溯矩阵应用幂迭代的线性消息传递算法被证明当且仅当 $\lambda>1$ 时达到弱恢复。另外，信念传播算法可与线性时间投票过程结合，以在所有 $K \ge \frac{n}{\log n} \left( \rho_{\rm BP} +o(1) \right)$ 上达到精确恢复（以高概率正确分类所有顶点）的信息极限，其中 $\rho_{\rm BP}$ 是 p/q 的函数。