随机块模型的鲁棒恢复：简化与推广

我们研究$\textit{鲁棒社区恢复}$问题：即在存在对抗性污染的情况下，高效地恢复稀疏随机块模型中的社区。在没有对抗性污染的情况下，当$\textit{信噪比}$超过$\textit{Kesten--Stigum (KS) 阈值}$时，存在高效算法，该阈值被广泛认为是此问题的计算阈值。我们研究的问题是：鲁棒社区恢复的计算阈值是否也位于 KS 阈值处？我们对此给出了肯定的回答，提供了一种针对任意数量社区的随机块模型进行鲁棒社区恢复的算法，推广了 Ding、d'Orsi、Nasser 和 Steurer 关于在 2-社区块模型情况下高于 KS 阈值的高效算法的工作。我们的工作主要有三个组成部分：(i) 图的 Bethe Hessian 定义为 $H_G(t) \triangleq (D_G-I)t^2 - A_Gt + I$，其中 $D_G$ 是度数的对角矩阵，$A_G$ 是邻接矩阵。实证工作表明，随机块模型的 Bethe Hessian 在刚好高于 Kesten-Stigum 阈值处具有对应于社区的异常特征向量。我们通过从社区向量显式构造异常特征向量，正式确认了 Bethe Hessian 异常特征值的存在。(ii) 我们开发了一种针对稀疏矩阵的鲁棒 PCA 变体算法。具体而言，该算法能够在 mild 去局域化约束下，从对抗性污染的稀疏矩阵中部分恢复顶部特征空间。(iii) 一种舍入算法，用于将顶点的向量分配转化为社区分配，其灵感来源于 Charikar 和 Wirth \cite{CW04} 针对 2XOR 的算法。