具有多个社区的随机块模型与 Kesten–Stigum 界

我们研究具有增长社区数量的随机块模型中的社区推断。对于具有 $n$ 个顶点和固定社区数 $q$ 的块模型，Decelle 等人（2011）预测，在 Kesten–Stigum（KS）界以上存在可高效恢复社区的计算算法，而在 KS 界以下则无法高效恢复。该猜想此后激发了大量研究，其最终汇聚于 Abbe 和 Sandon（2018）的工作。反之，Sohn 和 Wein（2025）的最新工作通过低度范式为困难性方面提供了证据。在本文中，我们研究 $q = q_n \to \infty$（当 $n \to \infty$）时的社区恢复区域，此前不存在此类预测。我们证明在 KS 界以上社区的高效推断仍然是可能的。此外，我们证明当社区数量满足 $q \ll \sqrt{n}$ 时，块模型的恢复在 KS 界以下是低度困难的。也许令人惊讶的是，我们发现当 $q \gg \sqrt{n}$ 时，存在一种基于非回溯游走的高效算法，即使在 KS 界以下也能实现恢复。我们识别出一个新阈值，并询问它是否是该区域中高效恢复的阈值。最后，我们证明检测是容易的，并确定了（至多相差一个常数）随社区数量 $q$ 发散的社区恢复的信息论阈值。我们的低度困难性结果对图核估计也有自然推论，改进了 Luo 和 Gao（2024）的结果。