随机块模型与树上重构的精确相变

在本文中，我们继续严格建立 Decelle、Krzakala、Moore、Zdeborová（2011）在统计物理中开创性工作关于块模型的预测，特别是 $q=3$ 与 $q=4$ 个社区的情形。我们通过证明在 Kesten-Stigum 界以下信息论上不可能检测，证明了对于 $q=3$ 与 $q=4$，若平均度高于某常数则不存在计算-统计鸿沟。该证明基于证明对于 Galton-Watson 树上的广播过程，若平均度足够大，则对于 $q=3$ 与 $q=4$ 重构是不可能的。这改进了 Sly（2009）的结果，其证明了正则树上 $q=3$ 的类似结果。我们对临界情形 $q=4$ 的分析提供了详细的图像，表明反铁磁情形下 Kesten-Stigum 界的紧性依赖于树的平均度。我们还证明了对于 $q\geq 5$，Kesten-Stigum 界不锐利。我们的结果证明了 Decelle、Krzakala、Moore、Zdeborová（2011）、Moore（2017）、Abbe 与 Sandon（2018）以及 Ricci-Tersenghi、Semerjian 与 Zdeborová（2019）的猜想。我们的证明基于树与图过程的一种新的通用耦合，以及对树上广播过程的精细分析。